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Python機器學習之PCA降維算法詳解

一、算法概述

主成分分析（Principal ComponentAnalysis，PCA）是一種掌握事物主要矛盾的統計分析方法，它可以從多元事物中解析出主要影響因素，揭示事物的本質，簡化復雜的問題。
PCA 是最常用的一種降維方法，它的目標是通過某種線性投影，將高維的數據映射到低維的空間中，并期望在所投影的維度上數據的方差最大，以此使用較少的維度，同時保留較多原數據的維度。
PCA 算法目標是求出樣本數據協方差矩陣的特征值和特征向量，而協方差矩陣的特征向量的方向就是PCA需要投影的方向。使樣本數據向低維投影后，能盡可能表征原始的數據。
PCA 可以把具有相關性的高維變量合成為線性無關的低維變量，稱為主成分。主成分能夠盡可能的保留原始數據的信息。
PCA 通常用于高維數據集的探索與可視化，還可以用作數據壓縮和預處理等。

二、算法步驟

1.將原始數據按行組成m行n列的矩陣X

2.將X的每一列（代表一個屬性字段）進行零均值化，即減去這一列的均值

3.求出協方差矩陣

4.求出協方差矩陣的特征值及對應的特征向量r

5.將特征向量按對應特征值大小從左到右按列排列成矩陣，取前k列組成矩陣P

6.計算降維到k維的數據

三、相關概念

方差：描述一個數據的離散程度

協方差：描述兩個數據的相關性，接近1就是正相關，接近-1就是負相關，接近0就是不相關

協方差矩陣：協方差矩陣是一個對稱的矩陣，而且對角線是各個維度的方差

特征值：用于選取降維的K個特征值
特征向量：用于選取降維的K個特征向量

四、算法優缺點

優點

僅僅需要以方差衡量信息量，不受數據集以外的因素影響。
各主成分之間正交，可消除原始數據成分間的相互影響的因素。
計算方法簡單，主要運算是特征值分解，易于實現。

缺點

主成分各個特征維度的含義具有一定的模糊性，不如原始樣本特征的解釋性強。
方差小的非主成分也可能含有對樣本差異的重要信息，降維丟棄的數據可能對后續數據處理有影響。

五、算法實現

自定義實現

import numpy as np


# 對初始數據進行零均值化處理
def zeroMean(dataMat):
    # 求列均值
    meanVal = np.mean(dataMat, axis=0)
    # 求列差值
    newData = dataMat - meanVal
    return newData, meanVal


# 對初始數據進行降維處理
def pca(dataMat, percent=0.19):
    newData, meanVal = zeroMean(dataMat)

    # 求協方差矩陣
    covMat = np.cov(newData, rowvar=0)

    # 求特征值和特征向量
    eigVals, eigVects = np.linalg.eig(np.mat(covMat))

    # 抽取前n個特征向量
    n = percentage2n(eigVals, percent)
    print("數據降低到：" + str(n) + '維')

    # 將特征值按從小到大排序
    eigValIndice = np.argsort(eigVals)
    # 取最大的n個特征值的下標
    n_eigValIndice = eigValIndice[-1:-(n + 1):-1]
    # 取最大的n個特征值的特征向量
    n_eigVect = eigVects[:, n_eigValIndice]

    # 取得降低到n維的數據
    lowDataMat = newData * n_eigVect
    reconMat = (lowDataMat * n_eigVect.T) + meanVal

    return reconMat, lowDataMat, n


# 通過方差百分比確定抽取的特征向量的個數
def percentage2n(eigVals, percentage):
    # 按降序排序
    sortArray = np.sort(eigVals)[-1::-1]
    # 求和
    arraySum = sum(sortArray)

    tempSum = 0
    num = 0
    for i in sortArray:
        tempSum += i
        num += 1
        if tempSum >= arraySum * percentage:
            return num


if __name__ == '__main__':
    # 初始化原始數據(行代表樣本,列代表維度)
    data = np.random.randint(1, 20, size=(6, 8))
    print(data)

    # 對數據降維處理
    fin = pca(data, 0.9)
    mat = fin[1]
    print(mat)

利用Sklearn庫實現

import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.datasets import load_iris

# 加載數據
data = load_iris()
x = data.data
y = data.target

# 設置數據集要降低的維度
pca = PCA(n_components=2)
# 進行數據降維
reduced_x = pca.fit_transform(x)

red_x, red_y = [], []
green_x, green_y = [], []
blue_x, blue_y = [], []

# 對數據集進行分類
for i in range(len(reduced_x)):
    if y[i] == 0:
        red_x.append(reduced_x[i][0])
        red_y.append(reduced_x[i][1])
    elif y[i] == 1:
        green_x.append(reduced_x[i][0])
        green_y.append(reduced_x[i][1])
    else:
        blue_x.append(reduced_x[i][0])
        blue_y.append(reduced_x[i][1])

plt.scatter(red_x, red_y, c='r', marker='x')
plt.scatter(green_x, green_y, c='g', marker='D')
plt.scatter(blue_x, blue_y, c='b', marker='.')
plt.show()